微分磁导率是个二阶张量场(tensor field)

微分磁导率是个二阶张量场(tensor field)

更新时间:2019-06-28 17:05点击数:文字大小:

  相对论外面的获胜源于差别限度标准(scale)的对称群正在寻找物理学方程上阐明的伟大威力(原来这一思思最早可追溯到Emmy Noether提出的Noether定理)。广义相对论中引力几何化的思思也奠定了几何学正在物理学根本外面中的根底身分,即所谓物理学的几何原则。正在这之后,德邦数学家Hermann Weyl通过平行挪动(parallel

  19世纪初叶及以前,任何一个数学家都是物理学家,任何一个物理学家都是数学家。但到19世纪中叶及此后,数学家感觉因为缺乏端庄的逻辑声明,他们从物理的洞察力得出的结论有错,并且越错越离谱。于是就稀有学家提出要重整扫数数学外面的基本,即寄企望由几个轻易的正义动身推导悉数全面,就像Euclid几何的正义化编制相似。此中对这一见解最为推重的就有当时享誉天下的数学巨匠David Hilbert。因为受到正义化思思的影响,Hilbert以至提出要将扫数物理学正义化(Hilbert第六题目)。即使Hilbert的设思最终并未获取获胜,但却间接促成了良众新思思的造成,引颈了阿谁期间主流数学物理的成长。数学这方面例子良众如Weierstrass端庄了解的树立,Lebesgue积分外面的树立,ZFC正义编制的树立。物理学方面最着名的要算是相对论外面架构的树立了(另一个着名的是量子力学,里头的数学构造是Hilbert空间)。

  行动浅讲,这里不提及各样繁杂的数学公式和外面推导如Riemann几何和张量了解,仅对扫数相对论的成长脉络予以宏观的意睹。

  A.Einstein曾试图把引力也囊括到狭义相对论中去。但废了一翻奋发发掘如此是不成行的。基于Minkowski几何的狭义相对论哀求悉数资讯的传输都不行凌驾光速,而Newton的万有引力外面却准许所谓“超距功用”(action at a distance),两者是有根底冲突的。为会意决这一冲突,A.Einstein直接把引力与非惯性加快系划了等号并提出所谓等效道理。其次,狭义相对论中对待惯性系的界说题目并没有令人满足的结果。来由是此中存正在逻辑上的死轮回。狭义相对论只合用于惯性系。那么惯性系若何界说?惯性系是全面不受外力的物体,正在其内支撑静止或匀速直线运动状况稳固的坐标系。但不受外力又若何界说?谜底只可是 当物体连结静止或匀速直线运动状况稳固时,物体不受外力。很昭着可能看出,逻辑上陷入了无法避免的死轮回。而这全面的基础来自于惯性系正在狭义相对论中的独特身分。所认为了避免逻辑死轮回,务必撤除惯性系对待刻画通常物理学定律的独特身分,于是A.Einstein实行了(狭义)协变道理,引入了所谓(广义)协变道理,以为悉数参考系平权,且物理学定律(搜罗引力定律)正在悉数参考系下连结数学外面稳固。有了等效道理和广义协变道理两大根本道理,又有要实行狭义相对论的主意,就可能斟酌引力场方程(后称作Einstein方程)。正在Newton引力外面中,引力由引力势(gravitational potential)来刻画。引力势满意三维空间Poisson方程。该方程左边是Laplace二次微分算子功用于引力势,右边是物质密度漫衍的函数。然而,Newton的引力势是个标量函数(scalar function),A.Einstein通过思思测验认识到广义相对论里刻画重力的位势依赖于目标。于是A.Einstein让他的数学家伙伴M.Grossmann助他找如此一个独特的量。M.Grossmann告诉他,差别于三维Poisson方程中的标量函数会跟着坐标系的拣选而发作调动,他所需求的量应该是与坐标编制无合的量,即Riemann几何中的某种张量(tensor)——Ricci张量,即Riemann曲率张量的二次缩并(曲率张量的迹),是曲率的某种均匀值,满意Bianchi恒等式,可视为守恒律。A.Einstein愚弄这条守恒律把引力几何化。正在1912和1913年A.Einstein与M.Grossmann配合的两篇论文中,他们用Ricci张量去界说空间中的物质漫衍张量。只是,因为物质张量满意守恒律,而Ricci张量自身不满意守恒律,两者并不相容,A.Einstein认识到自身的方程并未获胜。正在这之后,A.Einstein以至商讨过放弃广义协变道理如此根本的意睹,盘算采纳独特的坐标编制来融合与测验观测间的冲突。但正在数学巨匠Hilbert眼里,这种做法明晰不会有任何结果,由于从数学的见解讲,任何刻画时空几何的量和物理定律都应该是内蕴(intrinsic)的,毫不应依赖坐标系的拣选。Hilbert允诺A.Einstein用数学的美(对称群+功用量)来办理这一题目。最终Hilbert采用Lagrangian最小功用量道理的步骤(现称作Hilbert-Einstein Lagrangian)以至比A.Einstein早一个礼拜发掘了确切的引力场方程。Einstein方程阐释了物质漫衍和弯曲时空几何的互相合联,且自正在动体走四维时空中的测地线(geodesics)。该方程可用来注解光后偏折,黑洞,引力波等一系列首要的天体物理景象,且它的一组静态球对称解(Schwarzschild solution)正在当今GPS环球定位编制中行动对Newton经典引力外面的改良阐明了首要功用。

  transport)引入了所谓标准对称(Abel标准群U(1))的观点获胜地将Maxwell电磁外面几何化。之后跟着杨振宁(C.N. Yang)和R.Mills于1954年实行Weyl职业的颁发(可交流标准群U(1)实行到非交流标准群SU(2)),以及量子场论QFT搜罗量子电动力学QED,弱电团结外面和量子色动力学QCD的成长,这个标准群从Abel标准群U(1)渐渐成长为Non-Abelian标准群U(1)×SU(2),SU(3),最终到一个标准群是直积群U(1)×SU(2)×SU(3)的Yang-Mills外面得以树立。

  至此,自然界中的三个根本互相功用 电磁功用,强互相功用,弱互相功用 得以团结,粒子物理学的圭臬模子(standard model)正式树立【注:端庄讲,除了Yang-Mills外面,圭臬模子的真正树立还依赖其余机制,如Higgs机制,渐进自正在,重整化等时间】。正在这之后,圭臬模子所预言的各样根本粒子都获胜正在测验室被找到(比如,1974年丁肇中和里诡秘小组诀别独立发掘J/ψ粒子)。跟着结果一个根本粒子——Higgs粒子于2012年被测验找到,圭臬模子被普及以为是迄今为止最获胜,最无误的物理外面模子。

  正在这里,宇宙根本单位不是电子,光子之类正在量子场论里合法的点状粒子模子(也许导致奇点发散),而是标准极其细微的线状的所谓‘’弦‘’,搜罗开弦和闭弦。弦线的差别振动形式给出差别的根本粒子。弦外面自提出往后,最为属目的职业之一还要追溯到1998年由Maldacena正在超弦斟酌中发掘的AdS/CFT对偶合联(目前仍是猜思)。它行动全息道理(holographic principle)的一种完毕方法纠合了n+1维反德西特空间(AdS space)上的量子引力外面和一个界说正在AdS空间边境上的共形场论使得强/弱对偶可以派上用场。但弦论基于所谓超对称(supersymmetry)假设所预言的超对称粒子目前还没能正在测验室找到。企望21世纪数学家和物理学家能联袂补上物理学结果一块拼图。

  21世纪外面物理学的根本题目将是若何团结引力和之前所说的三种互相功用,树立最终的团结外面(unified theory)。弦外面(string theory)是个相当不错的起点。该外面以为,宇宙维数是10,即4维时空每点给与一个6维空间,而这个6维空间一个首要的数学模子便是由意大利几何学家Calabi提出并被华裔数学家丘成桐声明的Calabi-Yau空间(蜷缩正在Planck长度的空间上)。

  经典宏观物体的动力学满意Newton方程,Newton方程正在Galilean group功用下协变;经典电动力学满意Maxwell方程,而Maxwell方程并不是Galilean group下的协变式。这揭示出经典力学定律和经典电磁学定律正在性子上具有差别的对称性(symmetry)。除此以外,通过求解真空Maxwell方程获得合于电磁场的震撼方程,发掘电磁场正在真空中的传布速率仅与真空磁导率和电容率相合,并没指明这个速率是正在哪个参考系下丈量的,这有悖于Galileo相对性道理。当时普及的意睹是电磁场传布速率是相对待ether这个假思绝对静止的参考系来说的。直到1887年,美邦物理学家Michelson跟Morley做了有名的丈量地球和ether之间相对速率的测验发掘光正在差别目标的速率是无别的从而否认了ether的存正在。以上各类稀奇的景象都示意了Newton经典力学和Maxwell经典电动力学间有着根底的冲突。为了融合这对冲突,摆正在眼前的有两种做法。(一). 保存Newton力学而对Maxwell方程做改良;(二). 保存Maxwell电磁外面而对Newton方程做改良。汗青上,出于对Maxwell方程对称性构造的考量和光速稳固的实情,A.Einstein则大胆选取了第二种做法,并选取以光速稳固道理和(狭义)协变道理行动根本假设(hypothesis)来构修他扫数外面。合于协变道理中的协变,指的是四维时空的Lorentz协变而非三维空间的Galileo协变。

  扫数相对论便是基于光速稳固道理和协变道理(对称群)两个根本假设树立的外面架构。差别的是,狭义相对论中操纵的对称是大限度的对称(Lorentz group),而广义相对论操纵的是小限度的对称(坐标变换群)。狭义相对论中的时空是所谓的平缓四维Minkowski空间(一种pseudo-Euclidean空间,更确凿地说是Lorentz流形),其上每点界说有(3,1)型非退化Lorentz metric,是个二阶张量场(tensor field),正在pseudo-Cartesian坐标系下外面为η_μυ:=(±1)diag(-1,+1,+1,+1)。此中±1的拣选和signature相合。都知道三维Euclidean空间(界说有圭臬Euclidean metric)中连结三维矢量内积的齐次等距变换是正交变换,这种(扭转)坐标变换能确保变换前后两点间间隔稳固。同理,正在四维Minkowski空间(界说有Lorentz metric)中,连结四矢量(four-vector)内积的齐次等距变换是Lorentz变换,这种四维坐标系的‘’扭转‘’变换同样能确保变换前后两个时空点“间隔”是守恒的。但因为Lorentz metric的非正定性,这里的“间隔”不是通常旨趣上的Euclidean间隔,而是所谓的“四维时空间隔”。如此,一整套狭义相对论的四维时空几何构造就树立起来了。随之而来的相对论动力学结论如 尺缩效应,期间膨胀,质速合联,双生子佯谬,时空图,光锥,因果合联,速率变换式,质能等价合联等都是这个全新的四维Minkowski几何的自然推论。


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